De l'analyse fonctionnelle à la théorie spectrale

De l'étude des plans de symétrie des quadriques à la mécanique quantique, la théorie spectrale a une histoire mouvementée et passionnante, parallèle à celle de l'analyse fonctionnelle. Le présent livre est une introduction à ces deux théories, à destination des étudiants de Master de mathématiques ou de physique,

On débute par le théorème spectral habituel, premier d'une série de théorèmes spectraux hilbertiens, qui sont un des fils conducteurs pour les auteurs : opérateurs autoadjoints et normaux bornés, opérateurs autoadjoints compacts, opérateurs autoadjoints non bornés. Les résultats généraux relatifs aux opérateurs sur un espace de Banach constituent un autre thème, développé à travers le calcul fonctionnel holomorphe, la notion d'indice de Fredholm et la résolution spectrale des opérateurs compacts. La théorie de Gelfand des algèbres de Banach est abordée, mais seulement après l'étude de l'exemple paradigmatique L_c (E). Côté exemples, le livre regorge d'applications significatives de la théorie à des opérateurs « concrets », tels le théorème de Perron-Frobenius, les opérateurs hyper-cycliques, le spectre de l'opérateur de Hardy sur L² ([0,1]), le spectre de la transformée de Laplace sur L² (ℝ⁺) ou le principe d'incertitude de Heisenberg...

Chaque chapitre se clôt par un petit historique, pour le plus grand plaisir du lecteur, et un chapitre spécial est consacré aux opérateurs non bornés dans les espaces de Hilbert. Le cours est complété de plus de cent vingt exercices, accompagnés d'indications et de corrigés. Une attention particulière est portée aux étudiants préparant l'agrégation de mathématiques : des exemples de développement de leçons sont donnés dans chaque chapitre, et le livre est consacré vers sa fin à la correction de plusieurs sujets d'écrit.