Algèbre des matrices

Cet ouvrage s'adresse aussi bien aux étudiants de premier cycle qu'à ceux de licence ou de maîtrise de mathématiques. C'est un outil de base pour le candidat aux concours du CAPES ou de l'agrégation.

Espace vectoriel, rang, système linéaire sont présentés sous forme théorique aussi bien qu'algorithmique, les opérations élémentaires sur lignes et colonnes d'une matrice y jouent un rôle important.

Le chapitre Algèbre des endomorphismes, groupe linéaire étudie de façon approfondie l'aspect groupe et générateurs avec les transvections, le groupe dérivé et les sous-groupes distingués. Sous le titre Polynôme minimal et polynôme caractéristique, on énonce un théorème de Cayley-Hamilton version forte qui prépare les outils théoriques et algorithmiques du chapitre suivant.

La réduction d'un endomorphisme est présentée de façon élémentaire, sans utiliser la théorie des modules ; elle conduit à la notion d'invariants de similitude d'un endomorphisme, avec comme conséquence la réduction de Jordan lorsque le corps de base est algébriquement clos.

La partie de l'algèbre linéaire la mieux connue est celle des vecteurs propres et de la diagonalisation des endomorphismes ; on y montre la décomposition canonique en diagonalisable plus nilpotent, on approfondit la recherche numérique de vecteurs propres et enfin on aborde la belle théorie des endomorphismes semi-simples.

Les nombreux exercices qui terminent chaque chapitre permettent d'aboutir avec des moyens élémentaires à des résultats réputés délicats, comme les célèbres théorèmes de Burnside, Schur, Jordan sur les sous-groupes de G^z_n(C) qui sont de torsion ; ils abordent des sujets qui intéresseront le lecteur curieux et qui aiguiseront sa sagacité.