Algèbre et géométrie

Algèbre et Géométrie

Recueil d'exercices corrigés

Ce recueil de 150 exercices corrigés sur l'algèbre et la géométrie, avec des résultats classiques et d'autres originaux, s'adresse en premier chef aux candidats à l'Agrégation de mathématiques pour lesquels la pratique de l'exercice constitue une excellente préparation à l'épreuve écrite ; ces mêmes candidats trouveront dans les sujets abordés un choix important de développements pour l'épreuve orale. Il s'agit également d'un outil précieux pour les candidats au CAPES de mathématiques et les étudiants en Master de mathématiques. Ajoutons que tout esprit curieux découvrira dans cet ouvrage des beautés mathématiques qui aiguiseront sa sagacité.

Les matières y sont découpées de façon traditionnelle en cinq chapitres.

Sur l'algèbre linéaire, de nombreux sujets concernant les groupes linéaires sont abordés, que ce soient les matrices à coefficients dans Z, Q, ou bien R et C avec des propriétés topologiques ; le chapitre s'achève par un exercice important sur l'exponentielle de matrices et ses applications.

À propos d'espaces quadratiques, on trouvera des résultats de Cauchy sur les matrices symétriques réelles, mais aussi sur les groupes irréductibles et les sous-groupes compacts de GL(n,R) et GL(n,C).

Le chapitre sur les groupes est riche en exercices sur le produit semi-direct de groupes, sur le groupe symétrique, sur les p-groupes, et présente un paragraphe conséquent sur les représentations linéaires de groupes finis et la transformée de Fourier discrète.

Le chapitre sur les anneaux traite de la théorie des nombres avec les équations de Pell-Fermat, de Legendre, mais aussi des extensions cyclotomiques en relation avec les constructions à la règle et au compas, et le théorème de Gauss sur les polygones réguliers. On trouvera beaucoup de choses sur les polynômes à plusieurs variables, ainsi que sur les séries formelles à une variable avec le théorème de Puiseux.

Enfin, la géométrie n'est pas oubliée, qu'elle soit affine élémentaire, i.e. attachée aux espaces vectoriels, ou affine euclidienne, i.e. attachée aux espaces vectoriels euclidiens. Beaucoup de sujets classiques sont abordés, comme le triangle de lumière, les cercles inscrits et exinscrits à un triangle, l'ellipse de Steiner et d'autres oubliés comme le tétraèdre équifacial.