Sur les conjectures de Gross et Prasad, 1

Il y a environ 20 ans, Gross et Prasad ont proposé une conjecture pour déterminer la restriction d'une représentation irréductible admissible du groupe G = SO(n) sur un corps local à un sous-groupe de la forme G' = SO(n - 1). La conjecture affirme que, étant donnée une paire de L-paquets génériques de G et G', il existe un unique accouplement non-trivial, à un facteur scalaire près, entre exactement un membre de chaque paquet, où on a le droit de faire varier G et G' parmi leurs formes intérieures. Par ailleurs, les membres des L-paquets qui réalisent l'accouplement sont déterminés par une formule explicite où interviennent des signes locaux d'équations fonctionnelles. Pour les corps locaux non-archimédiens cette conjecture a été démontrée par Waldspurger et Moeglin, à l'aide de diverses méthodes de la théorie locale des représentations. La formule de Plancherel y joue un rôle primordial. Il existe également une conjecture globale pour les représentations automorphes, qui fait intervenir la valeur centrale critique de fonctions L.

Ce volume est le premier de deux numéros d'Astérisque consacrés à la conjecture et à sa démonstration. Le premier tome contient deux longs articles de Gan, Gross, et Prasad, qui formulent des versions de la conjecture originale de Gross et Prasad pour des paires plus générales de groupes classiques y compris les groupes métaplectiques, et qui donnent des exemples pour des groupes unitaires de petite dimension, et pour des représentations avec une ramification limitée. Le deuxième tome contient deux articles de Waldspurger : un article court qui déduit la conjecture locale de multiplicité un pour les paires (SO(n), SO(n - 1)) des résultats de Aizenbud-Gourevitch-Rallis-Schiffmann sur les groupes orthogonaux, et un article plus long qui termine la première partie de la démonstration de la conjecture de Gross-Prasad : la formule intégrale de Waldspurger qui relie les dimensions des espaces d'accouplements à l'analyse harmonique sur les groupes est généralisée du cas où la représentation du plus grand groupe est supercuspidale au cas où les représentations sont tempérées.