Systèmes cryptographiques basés sur les corps finis et sur les courbes elliptiques

La cryptographie (science ou art du secret) a concerné pendant très longtemps les milieux militaires et diplomatiques. Elle fut le secret, bien mis à l'abri, de grandes puissances étatiques.

Pour cacher ce qu'il y a d'essentiel dans les textes, de l'Antiquité au mouvement littéraire, artistique et scientifique qui eut lieu en Europe aux XV^e et XVI^e siècles, la science du secret a utilisé des méthodes faisant intervenir des substitutions ou des permutations. Dans le cas des substitutions, on remplaçait un caractère par un autre. Dans le cas des permutations, on changeait l'ordre des caractères. Les opérations de chiffrement étaient réalisées par des opérateurs humains. Eventuellement, certaines substitutions pouvaient être effectuées à l'aide d'instruments mécaniques.

Aujourd'hui la cryptologie (cryptographie et cryptanalyse) et l'informatique ont partie liée. On peut dire que le développement des ordinateurs est à l'origine d'un nouveau visage de la cryptologie.

Les quatre premiers chapitres du présent ouvrage sont consacrés à l'étude des polynômes, des fractions rationnelles, des équations algébriques et des polynômes symétriques. L'étude des champs finis fait l'objet du cinquième chapitre. Les corps finis sont, en effet, très utilisés en cryptographie. Le sixième chapitre est consacré à l'étude des courbes elliptiques. Ces dernières sont au coeur de nombreux procédés de cryptographie utilisés sur Internet. Le chiffrement sur une courbe elliptique fait l'objet du septième et dernier chapitre du présent ouvrage. Dans ce chapitre, sont présentées les courbes elliptiques modulo un nombre premier. L'addition sur une courbe elliptique modulo un nombre premier fait l'objet d'une démonstration détaillée. On étudie tout particulièrement, dans ce dernier chapitre, le chiffrement d'ElGamal sur une courbe elliptique.