Actions de groupes

L'auteur exprime avec ce livre une conception résolument novatrice de l'enseignement de la géométrie. Il affirme sa conviction que cet enseignement ne peut qu'évoluer dans le sens que son exposé indique : place grandissante donnée, dès le premier cycle, à la notion de groupes opérant ; nécessité de fournir à l'apprenti mathématicien des moyens nouveaux pour affronter la prolifération des connaissances et la complexité des nouvelles techniques ; priorité au travail de prospection et de réflexion à partir d'une «situation» donnée et abandon du traditionnel exposé magistral linéaire.

Rompant avec certaines classifications habituelles en mathématiques, R. Mneimné propose un parcours varié, guidé par la notion centrale de l'ouvrage : celle d'action de groupe. Du birapport aux groupes de Sylow, des triquadrangles harmoniques aux orbites nilpotentes, des groupes algébriques affines à la famille des sous-groupes de GL(2, F₃) au grand complet, de la réduite de Jordan aux représentations de sl(2, C), le lecteur n'apprendra pas seulement de belles mathématiques, il se convaincra de la vertu unifiante et organisatrice de l'idée de groupe opérant. Il se rendra compte, de surcroît, qu'en travaillant le corps du texte et ses plus de deux cents exercices, il a appris beaucoup d'algèbre linéaire et même de géométrie algébrique élémentaire.

Affranchi de toute contrainte de programme ou de niveau, l'auteur a réuni ici une matière suffisamment variée pour intéresser l'étudiant de maîtrise, l'agrégatif, le bon taupin, le futur chercheur, le professeur. Tous devraient trouver dans ce livre une note de bonheur mathématique. Si le «principe de symétrie» est une des sources de la beauté, les actions de groupes sont une des façons savantes de parler de cette symétrie, et de mieux la comprendre.