Etude sur la preuve originelle de l'identité combinatoire dite de Li Shanlan (1811-1882)

Etude sur la preuve originelle de l'identité combinatoire dite de Li Shanlan (1811-1882)

Ce que dissimule son traité des Catégories analogues d'accumulations discrètes de 1867

Dans ses Catégories analogues d'accumulations discrètes (Duoji bilei publiées en 1867, le mathématicien Li Shanlan (1811-1882) énonce près de 170 formules sommatoires dérivées du triangle de Pascal, déjà connu en Chine depuis la dynastie des Song (10-13^e siècles). L'une d'entre elles, dite « identité de Li Shanlan », reste remarquable aujourd'hui encore : elle évalue d'une manière récursive très élégante les coefficients binomiaux au carré du triangle arithmétique, ou « pile triangulaire multipliée par elle-même » (sanjiao zi cheng duo ).

L'« identité de Li Shanlan » a bien sûr été redémontrée dans la littérature moderne, mais l'historiographie passe sous silence le raisonnement originel de l'auteur. En effet, Li Shanlan présente ses résultats avec les conventions anciennes et les équations de « l'art de l'inconnue céleste » (tian yuan shu) des Song. Mais il ne fournit aucune démonstration à l'instar des traités traditionnels, alors qu'il maîtrisait parfaitement les mathématiques modernes comme l'atteste sa traduction préalable de nombreux ouvrages occidentaux dans les années 1850.

Cette étude suggère que la structure globale du traité s'organise en fait autour d'une démonstration pas à pas de ladite identité. Les Catégories analogues d'accumulations discrètes constituent donc un rare exemple d'ouvrage hybride issu du processus de modernisation des mathématiques dans la Chine impériale du 19^e siècle.