La magie des nombres

Le phénomène exponentiel

Dans les phénomènes naturels, les grandeurs varient en fonction de certains paramètres suivant différents types de lois. Ainsi, la température extérieure dépend de l'ensoleillement, de l'heure... Le prix du pétrole dépend de la production et de la consommation...

Il existe cependant des cas où la variation de certaines grandeurs ne dépend que de la valeur de la grandeur elle-même : ainsi, si on place de l'argent à 10 % d'intérêt par an, la valeur de la somme disponible chaque année dépend de la valeur qu'avait cette somme l'année précédente.

De même, les amibes se reproduisent par scissiparité, chacune se divisant en deux à un certain instant de sa vie ; le nombre N(t) d'amibes présentes à un instant t est ainsi égal au nombre précédent N(t-1) multiplié par 2, il ne dépend que du nombre précédent. Si n représente le nombre de divisions, N(t) = 2 N(t-1) = 2ⁿ : c'est le phénomène exponentiel.

Si le nombre initial est 10 et qu'il est multiplié par 10 à chaque événement, on peut écrire N(t = n) = 10ⁿ : n représente le logarithme à base 10 (en mathématiques, on utilise une fonction du type y = e^x où e est égal à 2,71828...). Cette fonction exponentielle a un accroissement qui dépasse celui de toutes les fonctions usuelles.

Un prince indien très riche qui passait ses journées à s'ennuyer demanda à ses sages de lui inventer de quoi faire cesser cet ennui. Quelque temps plus tard, le sage Sissa lui apporta un nouveau jeu, les échecs. Le prince trouva ce jeu passionnant et y joua des journées entières. Pour remercier Sissa, il lui demanda quelle récompense lui ferait plaisir. Le sage répondit qu'il voudrait le nombre de grains de blé nécessaires pour remplir l'échiquier de la façon suivante : un grain sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, huit sur la quatrième, etc., en doublant le nombre de grains jusqu'à la 64^e case. Le prince trouva cette demande bien modeste mais en réalité il n'était pas possible de réunir une telle quantité de grains : en effet, le nombre précis de grains à fournir était de 2⁶⁴ -1 (ce nombre est : 18446744073709551615 ! Il est facile à obtenir sur une simple calculatrice de poche).