Les fondements de la géométrie

Le grand public connaît de Helmholtz le physicien et le physiologiste. Il ignore trop le philosophe et le mathématicien. Son influence sur la pensée mathématique et les fondements de la géométrie fut pourtant considérable. Les deux mémoires Sur les fondements factuels de la géométrie (1868) et Sur le sens et la signification des axiomes géométriques (1870) que nous éditons ici en français l'illustrent. Ils marquent une avancée décisive dans l'histoire de la pensée. Pour la première fois sans doute depuis Kant s'y trouve posée à nouveaux frais la question de la nature de l'espace et des fondements de la géométrie.

Dans un style limpide, Helmholtz y démontre la nécessité de l'expression riemannienne de la distance dans un espace à courbure constante, une fois admis le mouvement libre des solides. Mieux, il y démontre, après avoir pris connaissance du modèle de Beltrami, que la détermination de la géométrie de l'espace physique ne peut se faire sans l'adjonction à la géométrie d'une partie de la mécanique.

On voit combien la réflexion engagée par Helmholtz porte loin. Elle permet de retrouver les conclusions de Riemann en les abordant d'un point de vue plus synthétique et, du même coup, d'invalider tout un pan de tradition qui, à la suite de Kant, s'était évertué à s'imposer comme le seul discours autorisé sur la géométrie. Ainsi, l'oeuvre de Helmholtz sur les fondements de la géométrie s'impose comme véritablement fondatrice. Elle ouvre la voie à une présentation sui gene - ris des concepts géométriques, dans laquelle la géométrie est affranchie des chaînes de l'intuition pure et des formes transcendantales de la sensibilité, et où la question de la nature de l'espace physique peut trouver à terme sa solution concrète.