Modules

Malgré la place de choix accordée à la théorie des modules dans l'oeuvre de Bourbaki, les modules restent encore de nos jours un épouvantail pour beaucoup d'étudiants et peut-être aussi pour nombre de leurs professeurs. Ces objets, qui sont à juste titre plus compliqués que les espaces vectoriels, ne manquent pourtant pas de charme et s'avèrent dans la pratique d'une efficacité sans pareille.

Gregory Berhuy fait l'oeuvre ici de démystificateur en ôtant à ces objets tout leur aspect insolite ou déroutant. Sans renoncer à aller au plus près des énoncés et de leurs démonstrations, Gregory Berhuy nous prend par la main, fait les vérifications que beaucoup d'auteurs laissent « soigneusement » à la sagacité des lecteurs et finit par rendre ces objets aussi familiers qu'un groupe ou qu'un anneau. Mais, il ne s'arrête évidemment pas là, puisqu'il nous montre comment, une fois maîtrisée, la théorie des $A$-modules de type fini, pour $A$ anneau principal, règle leur sort à bien des problèmes réputés difficiles, comme la réduction des endomorphismes ou l'étude des réseaux. Ce cours introductif traite surtout le cas des A-modules, où A est un anneau commutatif ; dès lors, une montée en niveau nous mène naturellement vers la théorie algébrique des nombres, notamment vers l'examen des anneaux d'entiers de corps de nombres, où le langage des modules offre le cadre le plus opportun pour saisir les notions d'idéal fractionnaire et de factorisation dans les anneaux de Dedekind.

La première édition de cet ouvrage a été vite épuisée. L'auteur a profité de la présente pour faire la chasse aux coquilles et apporter des modifications substantielles, dont l'ajout d'un chapitre sur les modules projectifs de type fini sur un anneau de polynômes, avec entre autres le théorème de Quillen-Suslin.