Théorie naïve et théorie basique

Ce livre est le premier d'une série de quatre volumes consacrée à la théorie des ensembles moderne. Même si elle constitue un sujet à part entière, la théorie des ensembles sert de fondement à la quasi-totalité des mathématiques telles que nous les pratiquons aujourd'hui. C'est ce que l'auteur s'emploie à nous expliquer dans un premier temps. Après avoir montré l'insuffisance de la théorie naïve des ensembles de Dedekind, Frege et Cantor, on insiste sur la nécessité de formuler une théorie des ensembles axiomatisée. On découvre alors les premiers axiomes de ZFC (théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel avec axiome du Choix), et l'on explique comment l'intégralité de l'édifice mathématique peut être entièrement formalisée dans le monde de ZFC. Les derniers axiomes permettent de donner un sens rigoureux aux notions fondamentales d'ordinal et de cardinal. On donne ensuite diverses variantes de l'axiome du choix, ainsi qu'un certain nombre d'applications, en particulier dans le domaine des filtres et ultrafiltres, ainsi qu'à des questions non triviales de cardinalité. Le livre se termine par une étude de la hiérarchie cumulative, l'énoncé de l'axiome de fondation, et la preuve du schéma de réflexion.

Le texte est enrichi de bon nombre de réflexions d'ordre historique et philosophique, qui en rendent la lecture plus agréable, et ce, dès le niveau L1.

Le volume 2 sera consacré aux théorèmes de complétude et d'incomplétude de Gödel, à l'étude fine des modèles de ZFC, et à la découverte de diverses techniques de preuves d'indépendance. Au volume 3 on découvrira la théorie descriptive des ensembles et la hiérarchie des grands cardinaux. Enfin, le volume 4 se concentrera sur un certain nombre de théories alternatives à ZFC.