Variable complexe et surfaces riemanniennes

Variable complexe et surfaces riemanniennes

Cours et exercices résolus

Cet ouvrage est issu de cours dispensés en Licence 3 et en Master, et d'un ensemble de compléments sur diverses notions qui leur sont reliées.

La première partie est une introduction à la théorie des fonctions d'une variable complexe, sous l'aspect analytique habituel, avec souvent une touche géométrique. La deuxième est consacrée à une étude élémentaire des surfaces, à la notion de métrique et à ce qui s'y rattache, en particulier la longueur d'une courbe, les géodésiques et, bien entendu, la courbure qui est un invariant fondamental en géométrie riemannienne. Un regard particulier est porté sur les surfaces hyperboliques.

Les compléments sont assez courts. Ils accompagnent ces parties pour éclairer leurs contenus. On y trouve deux démonstrations différentes du théorème fondamental de l'algèbre, quelques exemples modèles d'ouverts du plan complexe, le groupe fondamental et les revêtements, des éléments utiles de la théorie des groupes et, rapidement, les courbes elliptiques et leur plongement dans le plan projectif complexe par la fonction de Weierstrass.

Et enfin, une bibliographie bien fournie pour ceux qui veulent avoir plus de détails et approfondir l'étude des thèmes évoqués.